27В. а) Решите уравнение \(\sqrt[3]{{5-2x}} = \sqrt {3-x} \);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{2};\;2} \right]\).
а) \(\sqrt[3]{{5-2x}} = \sqrt {3-x} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {3-x} = \sqrt[3]{{5-2x}}.\) Уравнение вида \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Возведём обе части уравнения \(\sqrt {3-x} = \sqrt[3]{{5-2x}}\) в шестую степень. Тогда: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt[3]{{5-2x}} \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{{{\left( {5-2x} \right)}^2} = {{\left( {3-x} \right)}^3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5-2x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{25-20x + 4{x^2} = 27-27x + 9{x^2}-{x^3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \frac{5}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^3}-5{x^2} + 7x-2 = 0.}\end{array}} \right.\) Решим уравнение последней системы. Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(-2,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2.\) Подходит \(x = 2.\) Разделим многочлен \({x^3}-5{x^2} + 7x-2\) на многочлен \(x-2:\) Следовательно, многочлен \({x^3}-5{x^2} + 7x-2\) раскладывается на множители как \(\left( {x-2} \right)\left( {{x^2}-3x + 1} \right).\) Тогда: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \frac{5}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^3}-5{x^2} + 7x-2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \frac{5}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x-2} \right)\left( {{x^2}-3x + 1} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \frac{5}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\,\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-3x + 1 = 0,}\\{x-2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \frac{5}{2},\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3-\sqrt 5 }}{2},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2},}\\{x = 2\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3-\sqrt 5 }}{2},}\\{x = 2.\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{1}{2};\;2} \right].\) Так как \(2 = \sqrt 4 < \sqrt 5 < \sqrt 9 = 3,\) то \(0 < 3-\sqrt 5 < 1,\) значит, \(0 < \frac{{3-\sqrt 5 }}{2} < \frac{1}{2}.\) Тогда \(x = \frac{{3-\sqrt 5 }}{2} \notin \left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) \(x = 2 \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) Ответ: а) \(2;\;\;\;\;\frac{{3-\sqrt 5 }}{2};\) б) \(2.\)