28В. а) Решите уравнение \(\sqrt[3]{{2x + 3}} = \sqrt {x + 2} \);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{3}{5};\;1} \right]\).
а) \(\sqrt[3]{{2x + 3}} = \sqrt {x + 2} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {x + 2} = \sqrt[3]{{2x + 3}}.\) Уравнение вида \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Возведём обе части уравнения \(\sqrt {x + 2} = \sqrt[3]{{2x + 3}}\) в шестую степень. Тогда: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt[3]{{2x + 3}} \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;}\\{{{\left( {x + 2} \right)}^3} = {{\left( {2x + 3} \right)}^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 = 4{x^2} + 12x + 9}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -\frac{3}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^3} + 2{x^2}-1 = 0.}\end{array}} \right.\) Решим уравнение последней системы. Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(-1,\) то есть: \( \pm 1.\) Подходит \(x = -1.\) Разделим многочлен \({x^3} + 2{x^2}-1\) на многочлен \(x + 1:\) Следовательно, многочлен \({x^3} + 2{x^2}-1\) раскладывается на множители как \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x-1} \right).\) Тогда: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -\frac{3}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^3} + 2{x^2}-1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -\frac{3}{2},\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x-1} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -\frac{3}{2},\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x-1 = 0,}\\{x + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -\frac{3}{2},\,\,\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{-1-\sqrt 5 }}{2},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{-1 + \sqrt 5 }}{2},}\\{x = -1\,\;\;\,\;\;\;\;\,\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{-1 + \sqrt 5 }}{2},}\\{x = -1.\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{3}{5};\;1} \right].\) Так как \(2 < \sqrt 5 < 3,\) то \(1 < -1 + \sqrt 5 < 2,\) значит, \(\frac{1}{2} < \frac{{-1 + \sqrt 5 }}{2} < 1.\) Тогда \(x = \frac{{-1 + \sqrt 5 }}{2} \in \left[ {\frac{3}{5};1} \right].\) \(x = -1 \notin \left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) Ответ: а) \(-1;\;\;\;\;\frac{{-1 + \sqrt 5 }}{2};\) б) \(\frac{{-1 + \sqrt 5 }}{2}.\)