29В. а) Решите уравнение \(\sqrt[3]{{2x-3}} + \sqrt[3]{{x-2}} = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\sqrt 3 ;\;\sqrt 5 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(2;\) б) \(2.\)
а) \(\sqrt[3]{{2x-3}} + \sqrt[3]{{x-2}} = 1.\) Возведём обе части уравнения в третью степень. Воспользуемся формулой: \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right).\) \(\sqrt[3]{{2x-3}} + \sqrt[3]{{x-2}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2x-3 + x-2 + 3\sqrt[3]{{2x-3}} \cdot \sqrt[3]{{x-2}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{2x-3}} + \sqrt[3]{{x-2}}} \right) = 1.\) Заметим из исходного уравнения, что \(\sqrt[3]{{2x-3}} + \sqrt[3]{{x-2}} = 1.\) Тогда: \(2x-3 + x-2 + 3\sqrt[3]{{2x-3}} \cdot \sqrt[3]{{x-2}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{2x-3}} + \sqrt[3]{{x-2}}} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2x-3 + x-2 + 3\sqrt[3]{{2x-3}} \cdot \sqrt[3]{{x-2}} \cdot 1 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3\sqrt[3]{{\left( {2x-3} \right)\left( {x-2} \right)}} = 6-3x\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt[3]{{\left( {2x-3} \right)\left( {x-2} \right)}} = 2-x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left( {2x-3} \right)\left( {x-2} \right) = {\left( {2-x} \right)^3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2x-3} \right)\left( {x-2} \right) + {\left( {x-2} \right)^3} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-2} \right)\left( {2x-3 + {x^2}-4x + 4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{2x-3 + {x^2}-4x + 4 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{x^2}-2x + 1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{{{\left( {x-1} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,}\\{x = 1.\,}\end{array}} \right.\) Проверкой убедимся, что корень \(x = 2\) удовлетворяет исходному уравнению, а \(x = 1\) не удовлетворяет. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt 3 ;\;\sqrt 5 } \right].\) Так как \(\sqrt 3 < 2 = \sqrt 4 < \sqrt 5 ,\) то \(x = 2 \in \left[ {\sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right].\) Ответ: а) \(2;\) б) \(2.\)