3В. а) Решите уравнение \(\sqrt {2x + 6} = 2 + \sqrt {x + 1} \);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\frac{1}{2};\;\frac{{151}}{{10}}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-1;\;\;\;\;15;\) б) \(15.\)
а) \(\sqrt {2x + 6} = 2 + \sqrt {x + 1} .\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 6 \ge 0,\\x + 1 \ge 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \ge -3,\\x \ge -1\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {\left. {-1;\infty } \right)} \right..\) Так как обе части исходного уравнения неотрицательны при \(x \in \left[ {\left. {-1;\infty } \right)} \right.,\) то возведение в квадрат обеих частей не приведёт к появлению посторонних корней. \(\sqrt {2x + 6} = 2 + \sqrt {x + 1} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2x + 6 = 4 + 4\sqrt {x + 1} + x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4\sqrt {x + 1} = x + 1.\) Получили уравнение вида \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Тогда последнее уравнение примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{16\left( {x + 1} \right) = {{\left( {x + 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left( {x + 1} \right)\left( {16-x-1} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -1,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 15,}\\{x = -1\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 15,\,}\\{x = -1.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\frac{1}{2};\;\frac{{151}}{{10}}} \right].\) Так как \(-\frac{1}{2} < 15 < 15,1 = \frac{{151}}{{10}},\) то \(x = 15 \in \left[ {-\frac{1}{2};\;\frac{{151}}{{10}}} \right].\) \(x = -1 \notin \left[ {-\frac{1}{2};\frac{{151}}{{10}}} \right].\) Ответ: а) \(-1;\;\;\;\;15;\) б) \(15.\)