30В. а) Решите уравнение \(\sqrt[3]{{20 + x}}-\sqrt[3]{{x-8}} = 4\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-20;\;\sqrt {48} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-19;\;\;\;\;7;\) б) \(-19.\)
а) \(\sqrt[3]{{20 + x}}-\sqrt[3]{{x-8}} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt[3]{{20 + x}} + \sqrt[3]{{8-x}} = 4.\) Возведём обе части уравнения в третью степень. Воспользуемся формулой: \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right).\) \(\sqrt[3]{{20 + x}} + \sqrt[3]{{8-x}} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;20 + x + 8-x + 3\sqrt[3]{{20 + x}} \cdot \sqrt[3]{{8-x}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{20 + x}} + \sqrt[3]{{8-x}}} \right) = 64.\) Заметим из исходного уравнения, что \(\sqrt[3]{{20 + x}} + \sqrt[3]{{8-x}} = 4.\) Тогда: \(20 + x + 8-x + 3\sqrt[3]{{20 + x}} \cdot \sqrt[3]{{8-x}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{20 + x}} + \sqrt[3]{{8-x}}} \right) = 64\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;20 + x + 8-x + 3\sqrt[3]{{20 + x}} \cdot \sqrt[3]{{8-x}} \cdot 4 = 64\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;12\sqrt[3]{{\left( {20 + x} \right)\left( {8-x} \right)}} = 36\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt[3]{{\left( {20 + x} \right)\left( {8-x} \right)}} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left( {20 + x} \right)\left( {8-x} \right) = {3^3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;160-20x + 8x-{x^2} = 27\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 12x-133 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 7,\;\;\;\,\,}\\{{x} = -19.}\end{array}} \right.\) Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-20;\;\sqrt {48} } \right].\) Так как \(7 = \sqrt {49} > \sqrt {48} ,\) то \(x = 7 \notin \left[ {-20;\sqrt {48} } \right].\) \(x = -19 \in \left[ {-20;\sqrt {48} } \right].\) Ответ: а) \(-19;\;\;\;\;7;\) б) \(-19.\)