31В. а) Решите уравнение \(\sqrt[3]{{8-x}} + \sqrt[3]{{x + 1}} = 3\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {1;\;\frac{{22}}{3}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0;\;\;\;\;7;\) б) \(7.\)
а) \(\sqrt[3]{{8-x}} + \sqrt[3]{{x + 1}} = 3.\) Возведём обе части уравнения в третью степень. Воспользуемся формулой: \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right).\) \(\sqrt[3]{{8-x}} + \sqrt[3]{{x + 1}} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;8-x + x + 1 + 3\sqrt[3]{{8-x}} \cdot \sqrt[3]{{x + 1}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{8-x}} + \sqrt[3]{{x + 1}}} \right) = 27.\) Заметим из исходного уравнения, что \(\sqrt[3]{{8-x}} + \sqrt[3]{{x + 1}} = 3.\) Тогда: \(8-x + x + 1 + 3\sqrt[3]{{8-x}} \cdot \sqrt[3]{{x + 1}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{8-x}} + \sqrt[3]{{x + 1}}} \right) = 27\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;8-x + x + 1 + 3\sqrt[3]{{8-x}} \cdot \sqrt[3]{{x + 1}} \cdot 3 = 27\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;9 \cdot \sqrt[3]{{\left( {8-x} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 18\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt[3]{{8x + 8-{x^2}-x}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;7x + 8-{x^2} = {2^3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;7x-{x^2} = \;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {7-x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7,}\\{x = 0.}\end{array}} \right.\) Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1;\;\frac{{22}}{3}} \right].\) Так как \(1 < 7 < 7\frac{1}{3} = \frac{{22}}{3},\) то \(x = 7 \in \left[ {1;\frac{{22}}{3}} \right].\) \(x = 0 \notin \left[ {1;\frac{{22}}{3}} \right].\) Ответ: а) \(0;\;\;\;\;7;\) б) \(7.\)