33В. а) Решите уравнение \(\sqrt[3]{{x + 8}} + \sqrt {1-x} = 3\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-9;\;1} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-35;\;\;\;\;-8;\;\;\;\;0;\) б) \(-8;\;\;\;\;0.\)
а) \(\sqrt[3]{{x + 8}} + \sqrt {1-x} = 3.\) Запишем ОДЗ: \(1-x \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le 1.\) Пусть \(\sqrt[3]{{x + 8}} = t.\) Тогда: \(x + 8 = {t^3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = {t^3}-8.\) Исходное уравнение примет вид: \(t + \sqrt {1-{t^3} + 8} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {9-{t^3}} = 3-t.\) Получили уравнение вида \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Тогда последнее уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3-t \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{9-{t^3} = 9-6t + {t^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{t^3} + {t^2}-6t = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,\;}\\{t\left( {{t^2} + t-6} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 3,\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,\;\;\,}\\{t = -3,\,}\\{t = 0\;\;\,\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,\;\;\,}\\{t = -3,\,}\\{t = 0.\,\;\,\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt[3]{{x + 8}} = 2,\;\;}\\{\sqrt[3]{{x + 8}} = -3,}\\{\sqrt[3]{{x + 8}} = 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 8 = 8,\;\;\,\,\;}\\{x + 8 = -27,}\\{x + 8 = 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{x}} = 0,\;\;\;\;}\\{{{x}} = -35,}\\{{{x}} = -8.\;\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-9;\;1} \right].\) \(x = 0 \in \left[ {-9;1} \right];\;\;\;\;x = -35 \notin \left[ {-9;1} \right];\;\;\;\;x = -8 \in \left[ {-9;1} \right].\) Ответ: а) \(-35;\;\;\;\;-8;\;\;\;\;0;\) б) \(-8;\;\;\;\;0.\)