34В. а) Решите уравнение \(\sqrt[3]{{x + 1}}-\sqrt[3]{{x-1}} = \sqrt[6]{{{x^2}-1}}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;2} \right]\).
ОТВЕТ: а) \( \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2};\) б) \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
а) \(\sqrt[3]{{x + 1}}-\sqrt[3]{{x-1}} = \sqrt[6]{{{x^2}-1}}.\) Запишем ОДЗ: \({x^2}-1 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Возведём обе части уравнения в третью степень. Воспользуемся формулой: \({\left( {a-b} \right)^3} = {a^3}-3{a^2}b + 3a{b^2}-{b^3} = {a^3}-{b^3}-3ab\left( {a-b} \right).\) \(\sqrt[3]{{x + 1}}-\sqrt[3]{{x-1}} = \sqrt[6]{{{x^2}-1}}\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x + 1-x + 1-3\sqrt[3]{{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{{x-1}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{x + 1}}-\sqrt[3]{{x-1}}} \right) = \sqrt {{x^2}-1} .\) Заметим из исходного уравнения, что \(\sqrt[3]{{x + 1}}-\sqrt[3]{{x-1}} = \sqrt[6]{{{x^2}-1}}.\) Тогда: \(x + 1-x + 1-3\sqrt[3]{{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{{x-1}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{x + 1}}-\sqrt[3]{{x-1}}} \right) = \sqrt {{x^2}-1} \;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\,\;2-3 \cdot \sqrt[3]{{{x^2}-1}} \cdot \sqrt[6]{{{x^2}-1}} = \sqrt {{x^2}-1} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2-3 \cdot \sqrt {{x^2}-1} = \sqrt {{x^2}-1} \;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;4 \cdot \sqrt {{x^2}-1} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-1 = \frac{1}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;2} \right].\) Так как \(2 = \sqrt 4 < \sqrt 5 < \sqrt 9 = 3,\) то \(1 < \frac{{\sqrt 5 }}{2} < 1,5,\) значит, \(x = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \in \left[ {0;2} \right].\) \(x = -\frac{{\sqrt 5 }}{2} \notin \left[ {0;2} \right].\) Ответ: а) \( \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2};\) б) \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)