35В. а) Решите уравнение \(\sqrt {x + 2\sqrt {x-1} } + \sqrt {x-2\sqrt {x-1} } = 2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;1} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\left[ {1;2} \right];\) б) \(1.\)
а) \(\sqrt {x + 2\sqrt {x-1} } + \sqrt {x-2\sqrt {x-1} } = 2.\) Пусть \(\sqrt {x-1} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда: \(x-1 = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = {t^2} + 1.\) Исходное уравнение примет вид: \(\sqrt {{t^2} + 1 + 2t} + \sqrt {{t^2} + 1-2t} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {{{\left( {t + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {t-1} \right)}^2}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {t + 1} \right| + \left| {t-1} \right| = 2.\) Решим полученное уравнение методом интервалов. Так как \(t \ge 0,\) то необходимо рассмотреть два случая: \(0 \le t \le 1\) и \(t > 1.\) \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le t \le 1,\\t + 1-t + 1 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}0 \le t \le 1,\\2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \in \left[ {0;1} \right].\) \(\left\{ \begin{array}{l}t > 1,\\t + 1 + t-1 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}t > 1,\\t = 1\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Следовательно, \(\left| {t + 1} \right| + \left| {t-1} \right| = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 \le t \le 1.\) Вернёмся к прежней переменной: \(0 \le \sqrt {x-1} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 \le x-1 \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,1 \le x \le 2\,\,\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {1;2} \right].\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;1} \right].\) Отрезки \(x \in \left[ {0;\;1} \right]\) и \(x \in \left[ {1;2} \right]\) имеют только одну общую точку \(x = 1.\) Ответ: а) \(\left[ {1;2} \right];\) б) \(1.\)