а) \(\sqrt {x + 2\sqrt {x-1} } + \sqrt {x-2\sqrt {x-1} } = 2.\)
Пусть \(\sqrt {x-1} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда: \(x-1 = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = {t^2} + 1.\)
Исходное уравнение примет вид:
\(\sqrt {{t^2} + 1 + 2t} + \sqrt {{t^2} + 1-2t} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {{{\left( {t + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {t-1} \right)}^2}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {t + 1} \right| + \left| {t-1} \right| = 2.\)
Решим полученное уравнение методом интервалов. Так как \(t \ge 0,\) то необходимо рассмотреть два случая: \(0 \le t \le 1\) и \(t > 1.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le t \le 1,\\t + 1-t + 1 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}0 \le t \le 1,\\2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \in \left[ {0;1} \right].\)
\(\left\{ \begin{array}{l}t > 1,\\t + 1 + t-1 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}t > 1,\\t = 1\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)
Следовательно, \(\left| {t + 1} \right| + \left| {t-1} \right| = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 \le t \le 1.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(0 \le \sqrt {x-1} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 \le x-1 \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,1 \le x \le 2\,\,\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {1;2} \right].\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;1} \right].\)
Отрезки \(x \in \left[ {0;\;1} \right]\) и \(x \in \left[ {1;2} \right]\) имеют только одну общую точку \(x = 1.\)
Ответ: а) \(\left[ {1;2} \right];\)
б) \(1.\)