а) \(\sqrt {x + 4\sqrt {x-4} } + \sqrt {x-4\sqrt {x-4} } = 4.\)
Пусть \(\sqrt {x-4} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда: \(x-4 = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = {t^2} + 4.\)
Исходное уравнение примет вид:
\(\sqrt {{t^2} + 4 + 4t} + \sqrt {{t^2} + 4-4t} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {{{\left( {t + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {t-2} \right)}^2}} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {t + 2} \right| + \left| {t-2} \right| = 4.\)
Решим полученное уравнение методом интервалов. Так как \(t \ge 0,\) то необходимо рассмотреть два случая: \(0 \le t \le 2\) и \(t > 2.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le t \le 2,\\t + 2-t + 2 = 4\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}0 \le t \le 2,\\4 = 4\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \in \left[ {0;2} \right].\)
\(\left\{ \begin{array}{l}t > 2,\\t + 2 + t-2 = 4\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}t > 2,\\t = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)
Следовательно, \(\left| {t + 2} \right| + \left| {t-2} \right| = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 \le t \le 2.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(0 \le \sqrt {x-4} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 \le x-4 \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,4 \le x \le 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {4;8} \right].\)
б) Отберём корни, принадлежащие полуинтервалу \(\left[ {8;\;10} \right).\)
Отрезок \(x \in \left[ {4;\;8} \right]\) и полуинтервал \(x \in \left[ {8;\;10} \right)\) имеют только одну общую точку \(x = 8.\)
Ответ: а) \(\left[ {4;\;8} \right];\)
б) \(8.\)