36В. а) Решите уравнение \(\sqrt {x + 4\sqrt {x-4} } + \sqrt {x-4\sqrt {x-4} } = 4\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {8;\;10} \right)\).
ОТВЕТ: а) \(\left[ {4;\;8} \right];\) б) \(8.\)
а) \(\sqrt {x + 4\sqrt {x-4} } + \sqrt {x-4\sqrt {x-4} } = 4.\) Пусть \(\sqrt {x-4} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда: \(x-4 = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = {t^2} + 4.\) Исходное уравнение примет вид: \(\sqrt {{t^2} + 4 + 4t} + \sqrt {{t^2} + 4-4t} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {{{\left( {t + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {t-2} \right)}^2}} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {t + 2} \right| + \left| {t-2} \right| = 4.\) Решим полученное уравнение методом интервалов. Так как \(t \ge 0,\) то необходимо рассмотреть два случая: \(0 \le t \le 2\) и \(t > 2.\) \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le t \le 2,\\t + 2-t + 2 = 4\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}0 \le t \le 2,\\4 = 4\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \in \left[ {0;2} \right].\) \(\left\{ \begin{array}{l}t > 2,\\t + 2 + t-2 = 4\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}t > 2,\\t = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Следовательно, \(\left| {t + 2} \right| + \left| {t-2} \right| = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 \le t \le 2.\) Вернёмся к прежней переменной: \(0 \le \sqrt {x-4} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 \le x-4 \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,4 \le x \le 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {4;8} \right].\) б) Отберём корни, принадлежащие полуинтервалу \(\left[ {8;\;10} \right).\) Отрезок \(x \in \left[ {4;\;8} \right]\) и полуинтервал \(x \in \left[ {8;\;10} \right)\) имеют только одну общую точку \(x = 8.\) Ответ: а) \(\left[ {4;\;8} \right];\) б) \(8.\)