4В. а) Решите уравнение \(\sqrt {4x + 8} -\sqrt {3x-2} = 2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;\sqrt 5 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(2;\;\;\;\;34;\) б) \(2.\)
а) \(\sqrt {4x + 8} -\sqrt {3x-2} = 2.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 8 \ge 0,\\3x-2 \ge 0\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \ge -2,\\x \ge \frac{2}{3}\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {\left. {\frac{2}{3};\infty } \right)} \right..\) \(\sqrt {4x + 8} -\sqrt {3x-2} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {4x + 8} = 2 + \sqrt {3x-2} .\) Так как обе части последнего уравнения неотрицательны при \(x \in \left[ {\left. {\frac{2}{3};\infty } \right)} \right.,\) то возведение в квадрат обеих частей не приведёт к появлению посторонних корней. \({\left( {\sqrt {4x + 8} } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt {3x-2} } \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,4x + 8 = 4 + 4\sqrt {3x-2} + 3x-2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4\sqrt {3x-2} = x + 6.\) Получили уравнение вида \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Тогда последнее уравнение примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 6 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{48x-32 = {x^2} + 12x + 36}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -6,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2}-36x + 68 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -6,\,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 2,\;}\\{{x} = 34}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 2,\;\;}\\{{x} = 34.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;\sqrt 5 } \right].\) Так как \(0 < 2 = \sqrt 4 < \sqrt 5 ,\) то \(x = 2 \in \left[ {0;\;\sqrt 5 } \right].\) \(x = 34 \notin \left[ {0;\sqrt 5 } \right].\) Ответ: а) \(2;\;\;\;\;34;\) б) \(2.\)