5В. а) Решите уравнение \(\sqrt {\frac{{x + 3}}{{x-3}} + \sqrt x } = \sqrt {\frac{{2x-6}}{{x-4}} + \sqrt x } \);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\sqrt {24} ;\,\sqrt {35} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(5;\;\;\;\;6;\) б) \(5.\)
а) \(\sqrt {\frac{{x + 3}}{{x-3}} + \sqrt x } = \sqrt {\frac{{2x-6}}{{x-4}} + \sqrt x } \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\sqrt {\frac{{x + 3}}{{x-3}} + \sqrt x } } \right)^2} = {\left( {\sqrt {\frac{{2x-6}}{{x-4}} + \sqrt x } } \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{x + 3}}{{x-3}} + \sqrt x = \frac{{2x-6}}{{x-4}} + \sqrt x \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{x + 3}}{{x-3}} = \frac{{2x-6}}{{x-4}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{x^2} + 3x-4x-12-2{x^2} + 6x + 6x-18}}{{\left( {x-3} \right)\left( {x-4} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-11x + 30 = 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{x \ne 4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = 5,}\\{{x_2} = 6\,}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3,\;\;\,}\\{x \ne 4\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = 5,\,}\\{{x_2} = 6.}\end{array}} \right.\) Так как в начале решения уравнения не было найдено ОДЗ, решение которого является достаточно громоздким, то проверкой убеждаемся, что \({x_1} = 5\) и \({x_2} = 6\) являются корнями исходного уравнения. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt {24} ;\,\sqrt {35} } \right].\) Так как \(\sqrt {24} < 5 = \sqrt {25} < \sqrt {35} ,\) то \(x = 5 \in \left[ {\sqrt {24} ;\sqrt {35} } \right].\) Так как \(6 = \sqrt {36} > \sqrt {35} ,\) то \(x = 6 \notin \left[ {\sqrt {24} ;\sqrt {35} } \right]\) Ответ: а) \(5;\;\;\;\;6;\) б) \(5.\)