8В. а) Решите уравнение \(\sqrt {5-x} = \left| {x-2} \right|\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;4} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2};\) б) \(\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}.\)
а) \(\sqrt {5-x} = \left| {x-2} \right|.\) Уравнение вида \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x-2} \right| \ge 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{5-x = {{\left( {x-2} \right)}^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{{x^2}-3x-1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2},}\\{x = \frac{{3-\sqrt {13} }}{2}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;4} \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 < \sqrt {13} < \sqrt {16} = 4,\) то \(6 < 3 + \sqrt {13} < 7,\) значит, \(3 < \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2} < 3,5.\) Поэтому, \(x = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2} \in \left[ {0;4} \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 < \sqrt {13} < \sqrt {16} = 4,\) то \(-1 < 3-\sqrt {13} < 0,\) значит, \(-0,5 < \frac{{3-\sqrt {13} }}{2} < 0.\) Поэтому, \(x = \frac{{3-\sqrt {13} }}{2} \notin \left[ {0;4} \right].\) Ответ: а) \(\frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2};\) б) \(\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}.\)