9В. а) Решите уравнение \(\sqrt {4 + x\,\sqrt {36 + {x^2}} } = x + 2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\,\sqrt 6 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0;\;\;\;\;2,5;\) б) \(0.\)
а) \(\sqrt {4 + x\sqrt {36 + {x^2}} } = x + 2.\) Уравнение вида \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\sqrt {4 + x\sqrt {36 + {x^2}} } = x + 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{4 + x\sqrt {36 + {x^2}} = {x^2} + 4x + 4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{x\left( {\sqrt {36 + {x^2}} -x-4} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {36 + {x^2}} = x + 4,}\\{x = 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим уравнение последней системы: \(\sqrt {36 + {x^2}} = x + 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;}\\{36 + {x^2} = {x^2} + 8x + 16}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -4,\,}\\{x = 2,5.}\end{array}} \right.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {36 + {x^2}} = x + 4,}\\{x = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -2,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,5,}\\{x = 0\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,5,}\\{x = 0.\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\,\sqrt 6 } \right].\) Так как \(2,5 = \sqrt {6,25} > \sqrt 6 ,\) то \(x = 2,5 \notin \left[ {0;\sqrt 6 } \right].\) \(x = 0 \in \left[ {0;\sqrt 6 } \right].\) Ответ: а) \(0;\;\;\;\;2,5;\) б) \(0.\)