1В. а) Решите уравнение  \({\sin ^2}x + \sin x-2 = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {0;2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(\frac{\pi }{2}.\)

Решение

а) \({\sin ^2}x + \sin x- 2 = 0.\)

Пусть \(\sin x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { -1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: 

\({t^2} + t — 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{t} =  — 2 \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\sin x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(\frac{\pi }{2}.\)

Ответ:  а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)

             б) \(\frac{\pi }{2}.\)