10В. а) Решите уравнение  \(2{\cos ^2}x + 2\cos x + {\sin ^2}x = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\pi ;3\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\pi  + 2\pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(\pi ;\;\;3\pi .\)

Решение

а) \(2{\cos ^2}x + 2\cos x + {\sin ^2}x = 0.\)

Так как  \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1 — {\cos ^2}x\). Тогда уравнение примет вид:

\(2{\cos ^2}x + 2\cos x + 1 — {\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\cos ^2}x + 2\cos x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{(\cos x + 1)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x =  — 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pi  + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = \pi ;\;\;\;x = \pi  + 2\pi  = 3\pi .\)

Ответ:  а) \(\pi  + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)

             б) \(\pi ;\;\;\;3\pi .\)