Профиль №13. Тригонометрические уравнения. Задача 10Вmath100admin44242023-09-16T15:28:32+03:00
10В. а) Решите уравнение \(2{\cos ^2}x + 2\cos x + {\sin ^2}x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\pi + 2\pi k;\quad k \in Z;\)
б) \(\pi ;\;\;3\pi .\)
Решение
а) \(2{\cos ^2}x + 2\cos x + {\sin ^2}x = 0.\)
Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1 — {\cos ^2}x\). Тогда уравнение примет вид:
\(2{\cos ^2}x + 2\cos x + 1 — {\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\cos ^2}x + 2\cos x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{(\cos x + 1)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x = — 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pi + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \pi ;\;\;\;x = \pi + 2\pi = 3\pi .\)
Ответ: а) \(\pi + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)
б) \(\pi ;\;\;\;3\pi .\)