100В. а) Решите уравнение  \(4\sin 2x\sin 5x\sin 7x — \sin 4x = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {0;\,\,\frac{\pi }{4}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{{24}} + \frac{{\pi k}}{{12}};\quad \frac{{\pi k}}{2};\,\,\,\,\,k \in Z;\)

б) \(0;\,\,\,\,\frac{\pi }{{24}};\;\;\frac{\pi }{8};\;\;\frac{{5\pi }}{{24}}.\)

Решение

а) \(4\sin 2x\sin 5x\sin 7x — \sin 4x = 0.\)

Так как \(\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x,\) то уравнение примет вид:

\(4\sin 2x\sin 5x\sin 7x — 2\sin 2x\cos 2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin 2x\left( {2\sin 5x\sin 7x — \cos 2x} \right) = 0.\)

Воспользуемся формулой произведения синусов: \(\sin \alpha \sin \beta  = \frac{{\cos \left( {\alpha  — \beta } \right) — \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{2}.\) Тогда уравнение примет вид:

\(2\sin 2x\left( {2 \cdot \frac{{\cos \left( {5x — 7x} \right) — \cos \left( {5x + 7x} \right)}}{2} — \cos 2x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin 2x\left( {\cos 2x — \cos 12x — \cos 2x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x\cos 12x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x = 0,\;}\\{\cos 12x = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;}\\{12x = \frac{\pi }{2} + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{\pi k}}{2},\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{\pi k}}{{12}},}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\):

\(0 \le \frac{\pi }{{24}} + \frac{{\pi k}}{{12}} \le \frac{\pi }{4},\)

\( — \frac{\pi }{{24}} \le \frac{{\pi k}}{{12}} \le \frac{{5\pi }}{{24}},\)

\( — \frac{1}{2} \le k \le \frac{5}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 0,\;\;\;k = 1,\;\;\;k = 2.\)

При \(k = 0,\) \(x = \frac{\pi }{{24}}.\)

При \(k = 1,\) \(x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{\pi }{{12}} = \frac{\pi }{8}.\)

При \(k = 2,\) \(x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{{24}}.\)

 \(0 \le \frac{{\pi k}}{2} \le \frac{\pi }{4},\)

\(0 \le k \le \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 0.\)

При \(k = 0,\) \(x = 0.\)

 

 

 

Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x = 0;\,\,\;\,x = \frac{\pi }{{24}};\;\,\,\,x = \frac{\pi }{8};\;\,\,\,x = \frac{{5\pi }}{{24}}.\)

Ответ:  а)  \(\frac{\pi }{{24}} + \frac{{\pi k}}{{12}};\,\,\;\,\,\frac{{\pi k}}{2};\;\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \(0;\,\,\;\,\frac{\pi }{{24}};\;\,\,\,\frac{\pi }{8};\;\,\,\,\frac{{5\pi }}{{24}}.\)