101В. а) Решите уравнение \(2\sin 2x = \sin x — \sqrt 3 \cos x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \dfrac{{2\pi }}{3};\,\,\dfrac{\pi }{3}} \right].\)
ОТВЕТ: а) \( — \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\;\;\dfrac{{4\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3};\,\,\,k \in Z;\) б) \( — \dfrac{\pi }{3};\,\,\,\, — \dfrac{{2\pi }}{9}.\)
а) \(2\sin 2x = \sin x — \sqrt 3 \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x — \left( {\dfrac{1}{2}\sin x — \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right)\; = 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x — \left( {\cos \dfrac{\pi }{3}\sin x — \sin \dfrac{\pi }{3}\cos x} \right)\; = 0.\) Воспользуемся формулой синуса разности: \(\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta = \sin \left( {\alpha — \beta } \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(\sin 2x — \sin \left( {x — \dfrac{\pi }{3}} \right)\; = 0.\) Воспользуемся формулой разности синусов: \(\sin \alpha — \sin \beta = 2\sin \dfrac{{\alpha — \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}.\) Уравнение примет вид: \(2\sin \dfrac{{x + \dfrac{\pi }{3}}}{2}\cos \dfrac{{3x — \dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \dfrac{{x + \dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0,\;}\\{\cos \dfrac{{3x — \dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x + \dfrac{\pi }{3}}}{2} = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{{3x — \dfrac{\pi }{3}}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\,}\\{3x = \dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\,}\\{x = \dfrac{{4\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3},}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \dfrac{{2\pi }}{3};\dfrac{\pi }{3}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): [su_table responsive=»yes» alternate=»no» fixed=»no» class=»»] \( — \dfrac{\pi }{3} \le 2\pi k \le \dfrac{{2\pi }}{3},\) \( — \dfrac{1}{6} \le k \le \dfrac{1}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 0.\) При \(k = 0,\) \(x = — \dfrac{\pi }{3}.\) \( — \dfrac{{10\pi }}{9} \le \dfrac{{2\pi k}}{3} \le — \dfrac{\pi }{9},\) \( — \dfrac{5}{3} \le k \le — \dfrac{1}{6}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = — 1.\) При \(k = — 1,\) \(x = \dfrac{{4\pi }}{9} — \dfrac{{2\pi }}{3} = — \dfrac{{2\pi }}{9}.\) [/su_table] Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x = — \dfrac{\pi }{3};\;\,\,\,x = — \dfrac{{2\pi }}{9}.\) Ответ: а) \( — \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\;\,\,\dfrac{{4\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3},\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \( — \dfrac{\pi }{3};\;\,\,\, — \dfrac{{2\pi }}{9}.\)
\( — \dfrac{{2\pi }}{3} \le — \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k \le \dfrac{\pi }{3},\)
\( — \dfrac{{2\pi }}{3} \le \dfrac{{4\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3} \le \dfrac{\pi }{3},\)