101В. а) Решите уравнение \(2\sin 2x = \sin x — \sqrt 3 \cos x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{2\pi }}{3};\,\,\frac{\pi }{3}} \right].\)
ОТВЕТ: а) \( — \frac{\pi }{3} + 2\pi k;\;\;\frac{{4\pi }}{9} + \frac{{2\pi k}}{3};\,\,\,k \in Z;\) б) \( — \frac{\pi }{3};\,\,\,\, — \frac{{2\pi }}{9}.\)
а) \(2\sin 2x = \sin x — \sqrt 3 \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x — \left( {\frac{1}{2}\sin x — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right)\; = 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x — \left( {\cos \frac{\pi }{3}\sin x — \sin \frac{\pi }{3}\cos x} \right)\; = 0.\) Воспользуемся формулой синуса разности: \(\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta = \sin \left( {\alpha — \beta } \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(\sin 2x — \sin \left( {x — \frac{\pi }{3}} \right)\; = 0.\) Воспользуемся формулой разности синусов: \(\sin \alpha — \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha — \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}.\) Уравнение примет вид: \(2\sin \frac{{x + \frac{\pi }{3}}}{2}\cos \frac{{3x — \frac{\pi }{3}}}{2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \frac{{x + \frac{\pi }{3}}}{2} = 0,\;}\\{\cos \frac{{3x — \frac{\pi }{3}}}{2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x + \frac{\pi }{3}}}{2} = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;}\\{\frac{{3x — \frac{\pi }{3}}}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,}\\{3x = \frac{{4\pi }}{3} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,}\\{x = \frac{{4\pi }}{9} + \frac{{2\pi k}}{3},}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \( — \frac{\pi }{3} \le 2\pi k \le \frac{{2\pi }}{3},\) \( — \frac{1}{6} \le k \le \frac{1}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 0.\) При \(k = 0,\) \(x = — \frac{\pi }{3}.\) \( — \frac{{10\pi }}{9} \le \frac{{2\pi k}}{3} \le — \frac{\pi }{9},\) \( — \frac{5}{3} \le k \le — \frac{1}{6}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = — 1.\) При \(k = — 1,\) \(x = \frac{{4\pi }}{9} — \frac{{2\pi }}{3} = — \frac{{2\pi }}{9}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x = — \frac{\pi }{3};\;\,\,\,x = — \frac{{2\pi }}{9}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\;\,\,\frac{{4\pi }}{9} + \frac{{2\pi k}}{3},\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{\pi }{3};\;\,\,\, — \frac{{2\pi }}{9}.\)
\( — \frac{{2\pi }}{3} \le — \frac{\pi }{3} + 2\pi k \le \frac{\pi }{3},\)
\( — \frac{{2\pi }}{3} \le \frac{{4\pi }}{9} + \frac{{2\pi k}}{3} \le \frac{\pi }{3},\)