102В. а) Решите уравнение  \(2\sin 7x + \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\frac{\pi }{6};\,\,\frac{\pi }{3}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \frac{\pi }{{30}} + \frac{{\pi k}}{5};\;\;\frac{\pi }{3} + \frac{{\pi k}}{2};\,\,\,k \in Z;\)

б) \(\frac{\pi }{6};\,\,\,\,\frac{\pi }{3}.\)

Решение

а)

\(2\sin 7x + \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 7x + \frac{1}{2}\sin 3x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 3x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 7x + \cos \frac{\pi }{3}\sin 3x + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = 0.\)

Воспользуемся формулой синуса суммы:

 \(\cos \beta \sin \alpha  + \sin \beta \cos \alpha  = \sin \left( {\alpha  + \beta } \right).\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\sin 7x + \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right)\; = 0.\)

Воспользуемся формулой суммы синусов:

 \(\sin \alpha  + \sin \beta  = 2\sin \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha  — \beta }}{2}.\)

Уравнение примет вид:

\(2\sin \frac{{10x + \frac{\pi }{3}}}{2}\cos \frac{{4x — \frac{\pi }{3}}}{2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \frac{{10x + \frac{\pi }{3}}}{2} = 0,\;}\\{\cos \frac{{4x — \frac{\pi }{3}}}{2} = 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{10x + \frac{\pi }{3}}}{2} = \pi k,\;\;\;\;}\\{\frac{{4x — \frac{\pi }{3}}}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x =  — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{4x = \frac{{4\pi }}{3} + 2\pi k\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  — \frac{\pi }{{30}} + \frac{{\pi k}}{5},}\\{x = \frac{\pi }{3} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\):

\(\frac{\pi }{6} \le  — \frac{\pi }{{30}} + \frac{{\pi k}}{5} \le \frac{\pi }{3},\)

\(\frac{\pi }{5} \le \frac{{\pi k}}{5} \le \frac{{11\pi }}{{30}},\)

\(1 \le k \le \frac{{11}}{6}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 1.\)

При \(k = 1,\) \(x =  — \frac{\pi }{{30}} + \frac{\pi }{5} = \frac{\pi }{6}.\)

 \(\frac{\pi }{6} \le \frac{\pi }{3} + \frac{{\pi k}}{2} \le \frac{\pi }{3},\)

\( — \frac{\pi }{6} \le \frac{{2\pi k}}{3} \le 0,\)

\( — \frac{1}{4} \le k \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 0.\)

При \(k = 0,\) \(x = \frac{\pi }{3}.\)

Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x = \frac{\pi }{6};\;\,\,\,x = \frac{\pi }{3}.\)

Ответ:  а)  \( — \frac{\pi }{{30}} + \frac{{\pi k}}{5},\,\,\;\,\,\frac{\pi }{3} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \(\frac{\pi }{6};\;\,\,\,\frac{\pi }{3}.\)