102В. а) Решите уравнение \(2\sin 7x + \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};\,\,\dfrac{\pi }{3}} \right].\)
ОТВЕТ: а) \( — \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{\pi k}}{5};\;\;\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,k \in Z;\) б) \(\dfrac{\pi }{6};\,\,\,\,\dfrac{\pi }{3}.\)
а) \(2\sin 7x + \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 7x + \dfrac{1}{2}\sin 3x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 3x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 7x + \cos \dfrac{\pi }{3}\sin 3x + \sin \dfrac{\pi }{3}\cos 3x = 0.\) Воспользуемся формулой синуса суммы: \(\cos \beta \sin \alpha + \sin \beta \cos \alpha = \sin \left( {\alpha + \beta } \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(\sin 7x + \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\; = 0.\) Воспользуемся формулой суммы синусов: \(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha — \beta }}{2}.\) Уравнение примет вид: \(2\sin \dfrac{{10x + \dfrac{\pi }{3}}}{2}\cos \dfrac{{4x — \dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \dfrac{{10x + \dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0,\;}\\{\cos \dfrac{{4x — \dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{10x + \dfrac{\pi }{3}}}{2} = \pi k,\;\;\;\;}\\{\dfrac{{4x — \dfrac{\pi }{3}}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x = — \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{4x = \dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{\pi k}}{5},}\\{x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \(\dfrac{\pi }{5} \le \dfrac{{\pi k}}{5} \le \dfrac{{11\pi }}{{30}},\) \(1 \le k \le \dfrac{{11}}{6}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 1.\) При \(k = 1,\) \(x = — \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{\pi }{5} = \dfrac{\pi }{6}.\) \( — \dfrac{\pi }{6} \le \dfrac{{2\pi k}}{3} \le 0,\) \( — \dfrac{1}{4} \le k \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 0.\) При \(k = 0,\) \(x = \dfrac{\pi }{3}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x = \dfrac{\pi }{6};\;\,\,\,x = \dfrac{\pi }{3}.\) Ответ: а) \( — \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{\pi k}}{5},\,\,\;\,\,\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \(\dfrac{\pi }{6};\;\,\,\,\dfrac{\pi }{3}.\)
\(\dfrac{\pi }{6} \le — \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{\pi k}}{5} \le \dfrac{\pi }{3},\)
\(\dfrac{\pi }{6} \le \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi k}}{2} \le \dfrac{\pi }{3},\)