102В. а) Решите уравнение  \(2\sin 7x + \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};\,\,\dfrac{\pi }{3}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{\pi k}}{5};\;\;\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,k \in Z;\)

б) \(\dfrac{\pi }{6};\,\,\,\,\dfrac{\pi }{3}.\)

Решение

а)

\(2\sin 7x + \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 7x + \dfrac{1}{2}\sin 3x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 3x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 7x + \cos \dfrac{\pi }{3}\sin 3x + \sin \dfrac{\pi }{3}\cos 3x = 0.\)

Воспользуемся формулой синуса суммы:

 \(\cos \beta \sin \alpha  + \sin \beta \cos \alpha  = \sin \left( {\alpha  + \beta } \right).\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\sin 7x + \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\; = 0.\)

Воспользуемся формулой суммы синусов:

 \(\sin \alpha  + \sin \beta  = 2\sin \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha  — \beta }}{2}.\)

Уравнение примет вид:

\(2\sin \dfrac{{10x + \dfrac{\pi }{3}}}{2}\cos \dfrac{{4x — \dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \dfrac{{10x + \dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0,\;}\\{\cos \dfrac{{4x — \dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{10x + \dfrac{\pi }{3}}}{2} = \pi k,\;\;\;\;}\\{\dfrac{{4x — \dfrac{\pi }{3}}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x =  — \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{4x = \dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  — \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{\pi k}}{5},}\\{x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\):

\(\dfrac{\pi }{6} \le  — \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{\pi k}}{5} \le \dfrac{\pi }{3},\)

\(\dfrac{\pi }{5} \le \dfrac{{\pi k}}{5} \le \dfrac{{11\pi }}{{30}},\)

\(1 \le k \le \dfrac{{11}}{6}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 1.\)

При \(k = 1,\) \(x =  — \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{\pi }{5} = \dfrac{\pi }{6}.\)

 \(\dfrac{\pi }{6} \le \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi k}}{2} \le \dfrac{\pi }{3},\)

\( — \dfrac{\pi }{6} \le \dfrac{{2\pi k}}{3} \le 0,\)

\( — \dfrac{1}{4} \le k \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 0.\)

При \(k = 0,\) \(x = \dfrac{\pi }{3}.\)

Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x = \dfrac{\pi }{6};\;\,\,\,x = \dfrac{\pi }{3}.\)

Ответ:  а)  \( — \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{\pi k}}{5},\,\,\;\,\,\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \(\dfrac{\pi }{6};\;\,\,\,\dfrac{\pi }{3}.\)