103В. а) Решите уравнение  \(\sin 2x — 10{\sin ^2}\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{8}} \right) + 7 = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — \pi ;\,\,0} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k;\;\;\frac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k;\,\,\,k \in Z;\)

б) \( — \,\frac{{11\pi }}{{12}}.\)

Решение

а) \(\sin 2x — 10{\sin ^2}\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{8}} \right) + 7 = 0.\)

Воспользуемся формулами: \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha ,\;\;{\sin ^2}\alpha  = \frac{{1 — \cos 2\alpha }}{2}.\) Тогда уравнение примет вид:

\(2\sin x\cos x — 10 \cdot \frac{{1 — \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{2} + 7 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;2\sin x\cos x — 5 + 5\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + 7 = 0.\)

Воспользуемся формулой косинуса суммы:

\(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  — \sin \alpha \sin \beta .\)

Уравнение примет вид:

\(2\sin x\cos x + 5\cos x\cos \frac{\pi }{4} — 5\sin x\sin \frac{\pi }{4} + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\cos x + \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\cos x — \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\sin x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\,4\sin x\cos x — 5\sqrt 2 \left( {\sin x — \cos x} \right) + 4 = 0.\)

Пусть \(\sin x — \cos x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right].\) Тогда:

\({t^2} = {\sin ^2}x — 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{t^2} = 1 — 2\sin x\cos x\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;2\sin x\cos x = 1 — {t^2}.\)

Уравнение примет вид: 

\(2 — 2{t^2} — 5\sqrt 2 t + 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{t^2} + 5\sqrt 2 t — 6 = 0;\;\;\;\; \;D = 50 + 48 = 98;  \)

\( \sqrt D  = 7\sqrt 2; \;\;\;\; \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{{ — 5\sqrt 2  — 7\sqrt 2 }}{4} =  — 3\sqrt 3  \notin \left[ { — \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right],\,\,\,}\\{{t} = \frac{{ — 5\sqrt 2  + 7\sqrt 2 }}{4} =   \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\sin x — \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Уравнение вида:  \(a\sin x + b\cos x = c,\;\;\)где \(\;a = 1,\,\,\,\,b =  — 1,\;\;c = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Разделим обе части последнего уравнения на \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\) то есть на  \(\sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \).

\(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x — \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \frac{\pi }{4}\sin x — \sin \frac{\pi }{4}\cos x = \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin \left( {x — \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x — \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;}\\{x — \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k,\,\;}\\{x = \frac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;k\, \in \,Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;0} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\):

\( — \pi  \le \frac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k \le 0,\)

\( — \frac{{17\pi }}{{12}} \le 2\pi k \le  — \frac{{5\pi }}{{12}},\)

\( — \frac{{17}}{{24}} \le k \le  — \frac{5}{{24}}\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\,\)  нет целых k.

 

 \( — \pi  \le \frac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k \le 0,\)

\( — \frac{{25\pi }}{{12}} \le 2\pi k \le  — \frac{{13\pi }}{{12}},\)

\( — \frac{{25}}{{24}} \le k \le  — \frac{{13}}{{24}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k =  — 1.\)

При \(k =  — 1,\) \(x = \frac{{13\pi }}{{12}} — 2\pi  =  — \frac{{11\pi }}{{12}}.\)

Следовательно, заданному промежутку принадлежат корень: \(x =  — \frac{{11\pi }}{{12}}.\)

Ответ:  а)  \(\frac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k,\,\,\;\,\,\frac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k,\;\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \frac{{11\pi }}{{12}}.\)