103В. а) Решите уравнение \(\sin 2x — 10{\sin ^2}\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{8}} \right) + 7 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\,\,0} \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k;\;\;\dfrac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k;\,\,\,k \in Z;\) б) \( — \,\dfrac{{11\pi }}{{12}}.\)
а) \(\sin 2x — 10{\sin ^2}\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{8}} \right) + 7 = 0.\) Воспользуемся формулами: \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha ,\;\;{\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 — \cos 2\alpha }}{2}.\) Тогда уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x — 10 \cdot \dfrac{{1 — \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{2} + 7 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;2\sin x\cos x — 5 + 5\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + 7 = 0.\) Воспользуемся формулой косинуса суммы: \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta .\) Уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x + 5\cos x\cos \dfrac{\pi }{4} — 5\sin x\sin \dfrac{\pi }{4} + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\cos x + \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\cos x — \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\sin x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\,4\sin x\cos x — 5\sqrt 2 \left( {\sin x — \cos x} \right) + 4 = 0.\) Пусть \(\sin x — \cos x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right].\) Тогда: \({t^2} = {\sin ^2}x — 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{t^2} = 1 — 2\sin x\cos x\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;2\sin x\cos x = 1 — {t^2}.\) Уравнение примет вид: \(2 — 2{t^2} — 5\sqrt 2 t + 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{t^2} + 5\sqrt 2 t — 6 = 0;\;\;\;\; \;D = 50 + 48 = 98; \) \( \sqrt D = 7\sqrt 2; \;\;\;\; \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \dfrac{{ — 5\sqrt 2 — 7\sqrt 2 }}{4} = — 3\sqrt 3 \notin \left[ { — \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right],\,\,\,}\\{{t} = \dfrac{{ — 5\sqrt 2 + 7\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\sin x — \cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Уравнение вида: \(a\sin x + b\cos x = c,\;\;\)где \(\;a = 1,\,\,\,\,b = — 1,\;\;c = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Разделим обе части последнего уравнения на \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\) то есть на \(\sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \). \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x — \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \dfrac{\pi }{4}\sin x — \sin \dfrac{\pi }{4}\cos x = \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin \left( {x — \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x — \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;}\\{x — \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k,\,\;}\\{x = \dfrac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;k\, \in \,Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;0} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \( — \dfrac{{17\pi }}{{12}} \le 2\pi k \le — \dfrac{{5\pi }}{{12}},\) \( — \dfrac{{17}}{{24}} \le k \le — \dfrac{5}{{24}}\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\,\) нет целых k. \( — \dfrac{{25\pi }}{{12}} \le 2\pi k \le — \dfrac{{13\pi }}{{12}},\) \( — \dfrac{{25}}{{24}} \le k \le — \dfrac{{13}}{{24}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = — 1.\) При \(k = — 1,\) \(x = \dfrac{{13\pi }}{{12}} — 2\pi = — \dfrac{{11\pi }}{{12}}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корень: \(x = — \dfrac{{11\pi }}{{12}}.\) Ответ: а) \(\dfrac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k,\,\,\;\,\,\dfrac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k,\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \( — \dfrac{{11\pi }}{{12}}.\)
\( — \pi \le \dfrac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k \le 0,\)
\( — \pi \le \dfrac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k \le 0,\)