104В. а) Решите уравнение \(\frac{{2\cos x}}{{\sin 3x + \sin x}} — \frac{4}{3} = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\,\,\pi } \right].\)
а) \(\frac{{2\cos x}}{{\sin 3x + \sin x}} — \frac{4}{3} = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\) Воспользуемся формулами понижения степени и суммы синусов: \({\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2},\;\,\,\,\,\,\,\,\,\;\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha — \beta }}{2}.\) Тогда уравнение примет вид: \(\frac{{2\cos x}}{{2\sin 2x\cos x}} — \frac{4}{3} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2}.\) Воспользуемся формулой приведения: \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = — \sin 2x.\) Уравнение примет вид: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sin 2x}} = \frac{{1 — \sin 2x}}{2} + \frac{4}{3},}\\{\cos x \ne 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{{\sin }^2}2x — 11\sin 2x + 6 = 0,}\\{\sin 2x \ne 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Пусть \(\sin 2x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(3{t^2} — 11t + 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3 \notin \left[ { — 1;1} \right],}\\{{t} = \frac{2}{3}.\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\sin 2x = \frac{2}{3}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k,\;\;\;\;\,}\\{2x = \pi — \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}\arcsin \frac{2}{3} + \pi k,\;\,\;\;\;\;\,}\\{x = \frac{\pi }{2} — \frac{1}{2}\arcsin \frac{2}{3} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{1}{2}\arcsin \frac{2}{3};\;\;\;x = \frac{\pi }{2} — \frac{1}{2}\arcsin \frac{2}{3}.\) Ответ: а) \(\frac{1}{2}\arcsin \frac{2}{3} + \pi k,\;\;\;\;\frac{\pi }{2} — \frac{1}{2}\arcsin \frac{2}{3} + \pi k,\;\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{1}{2}\arcsin \frac{2}{3};\;\;\;\frac{\pi }{2} — \frac{1}{2}\arcsin \frac{2}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: