105В. а) Решите уравнение  \(8{\sin ^2}\left( {\frac{{7\pi }}{{12}} + x} \right) — 2\sqrt 3 \cos 2x = 5\);     

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2};\,\, — \frac{{5\pi }}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \frac{\pi }{{12}} + \pi k;\;\;\; — \frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\;\;\;k \in Z;\)

б) \( — \frac{{41\pi }}{{12}};\,\,\,\, — \frac{{37\pi }}{{12}}.\)

Решение

a) \(8{\sin ^2}\left( {\frac{{7\pi }}{{12}} + x} \right) — 2\sqrt 3 \cos 2x = 5.\)

Воспользуемся формулой понижения степени: \({\sin ^2}\alpha  = \frac{{1 — \cos 2\alpha }}{2}.\)

Тогда уравнение примет вид:

\(8 \cdot \frac{{1 — \cos \left( {\frac{{7\pi }}{6} + 2x} \right)}}{2} — 2\sqrt 3 \cos 2x = 5.\)

Воспользуемся формулой косинуса суммы:

 \(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \beta \cos \alpha  — \sin \beta \sin \alpha .\)

Тогда уравнение примет вид:

\(4 \cdot \left( {1 — \cos \frac{{7\pi }}{6}\cos 2x + \sin \frac{{7\pi }}{6}\sin 2x} \right) — 2\sqrt 3 \cos 2x = 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;4 + 4 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x — 4 \cdot \frac{1}{2}\sin 2x — 2\sqrt 3 \cos 2x = 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;4 + 2\sqrt 3 \cos 2x — 2\sin 2x — 2\sqrt 3 \cos 2x = 5\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — 2\sin 2x = 1\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sin 2x =  — \frac{1}{2}\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x =  — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;}\\{2x =  — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  — \frac{\pi }{{12}} + \pi k,\,\;\;}\\{x =  — \frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — \frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\):

\( — \frac{{7\pi }}{2} \le  — \frac{\pi }{{12}} + \pi k \le  — \frac{{5\pi }}{2},\)

\( — \frac{{41\pi }}{{12}} \le \pi k \le  — \frac{{29\pi }}{{12}},\)

\( — \frac{{41}}{{12}} \le k \le  — \frac{{29}}{{12}}\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\,k =  — 3.\)

При \(k =  — 3,\) \(x =  — \frac{\pi }{{12}} — 3\pi  =  — \frac{{37\pi }}{{12}}.\)

 \( — \frac{{7\pi }}{2} \le  — \frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k \le  — \frac{{5\pi }}{2},\)

\( — \frac{{37\pi }}{{12}} \le \pi k \le  — \frac{{25\pi }}{{12}},\)

\( — \frac{{37}}{{12}} \le k \le  — \frac{{25}}{{12}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k =  — 3.\)

При \(k =  — 3,\) \(x =  — \frac{{5\pi }}{{12}} — 3\pi  =  — \frac{{41\pi }}{{12}}.\)

Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x =  — \frac{{41\pi }}{{12}};\;\;\;\;x =  — \frac{{37\pi }}{{12}}.\)

Ответ:  а)  \( — \frac{\pi }{{12}} + \pi k,\,\,\,\,\,\, — \frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \frac{{37\pi }}{{12}};\,\,\,\,\,\, — \frac{{41\pi }}{{12}}\).