106В. а) Решите уравнение \(\sqrt 2 \sin 2x + 4{\cos ^2}\left( {\dfrac{{3\pi }}{8} + x} \right) = 2 + \sqrt 2 \);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\,\,\dfrac{{5\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\sqrt 2 \sin 2x + 4{\cos ^2}\left( {\dfrac{{3\pi }}{8} + x} \right) = 2 + \sqrt 2 .\) Воспользуемся формулой понижения степени: \({\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}.\) Тогда уравнение примет вид: \(\sqrt 2 \sin 2x + 4 \cdot \dfrac{{1 + \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{4} + 2x} \right)}}{2} = 2 + \sqrt 2 .\) Воспользуемся формулой косинуса суммы: \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \beta \cos \alpha — \sin \beta \sin \alpha .\) Тогда уравнение примет вид: \(\sqrt 2 \sin 2x + 2 + 2\left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{4}\cos 2x — \sin \dfrac{{3\pi }}{4}\sin 2x} \right) = 2 + \sqrt 2 \;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\sqrt 2 \sin 2x — \sqrt 2 \cos 2x — \sqrt 2 \sin 2x = \sqrt 2 \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; — \sqrt 2 \cos 2x = \sqrt 2 \;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos 2x = — 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2x = \pi + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \dfrac{\pi }{2} + \pi = \dfrac{{3\pi }}{2};\;\;\;x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi = \dfrac{{5\pi }}{2}.\) Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\dfrac{{3\pi }}{2};\;\;\;\dfrac{{5\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: