107В. а) Решите уравнение \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos x + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\,\,\sin x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 5\pi ;\, — \,\frac{{7\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos x + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\sin x.\) Запишем уравнение в виде: \(\sin \left( {x + \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right) = \cos x + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\sin x.\) Воспользуемся формулой синуса суммы: \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .\) Тогда уравнение примет вид: \(\sin x\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos x\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos x + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\,}\\{x = \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{2} — 5\pi = — \frac{{9\pi }}{2};\;\;\;x = \frac{\pi }{3} — 4\pi = — \frac{{11\pi }}{3};\;\;\;x = \frac{\pi }{2} — 4\pi = — \frac{{7\pi }}{2}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{9\pi }}{2};\;\;\; — \frac{{11\pi }}{3};\;\;\; — \frac{{7\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 5\pi ; — \frac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: