а) \(\sin \left( {2x — \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos x + \cos \left( {x — \dfrac{\pi }{3}} \right)\sin x.\)
Запишем уравнение в виде:
\(\sin \left( {x + \left( {x — \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right) = \cos x + \cos \left( {x — \dfrac{\pi }{3}} \right)\sin x.\)
Воспользуемся формулой синуса суммы:
\(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .\)
Тогда уравнение примет вид:
\(\sin x\cos \left( {x — \dfrac{\pi }{3}} \right) + \cos x\sin \left( {x — \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos x + \cos \left( {x — \dfrac{\pi }{3}} \right)\sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\sin \left( {x — \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {\sin \left( {x — \dfrac{\pi }{3}} \right) — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\sin \left( {x — \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{x — \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\,}\\{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \dfrac{{11\pi }}{2}; — 4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{\pi }{2} — 6\pi = — \dfrac{{11\pi }}{2};\;\;\;x = \dfrac{{5\pi }}{6} — 6\pi = — \dfrac{{31\pi }}{6};\;\;\;x = \dfrac{\pi }{2} — 5\pi = — \dfrac{{9\pi }}{2}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k\, \in \,Z;\)
б) \( — \dfrac{{11\pi }}{2};\;\;\; — \dfrac{{31\pi }}{6};\;\;\; — \dfrac{{9\pi }}{2}.\)