108В. а) Решите уравнение  \(\sin \left( {2x — \frac{\pi }{3}} \right) = \cos x + \cos \left( {x — \frac{\pi }{3}} \right)\,\,\sin x\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — \,\frac{{11\pi }}{2};\,\, — 4\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k;\;\;\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\;\;\;k \in Z;\)

б) \( — \frac{{11\pi }}{2};\,\,\,\, — \frac{{31\pi }}{6};\,\,\,\, — \frac{{9\pi }}{2}.\)

Решение

а) \(\sin \left( {2x — \frac{\pi }{3}} \right) = \cos x + \cos \left( {x — \frac{\pi }{3}} \right)\sin x.\)

Запишем уравнение в виде: 

\(\sin \left( {x + \left( {x — \frac{\pi }{3}} \right)} \right) = \cos x + \cos \left( {x — \frac{\pi }{3}} \right)\sin x.\)

Воспользуемся формулой синуса суммы:

\(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta .\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\sin x\cos \left( {x — \frac{\pi }{3}} \right) + \cos x\sin \left( {x — \frac{\pi }{3}} \right) = \cos x + \cos \left( {x — \frac{\pi }{3}} \right)\sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\sin \left( {x — \frac{\pi }{3}} \right) = \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {\sin \left( {x — \frac{\pi }{3}} \right) — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\sin \left( {x — \frac{\pi }{3}} \right) = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{x — \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\,}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{11\pi }}{2}; — 4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = \frac{\pi }{2} — 6\pi  =  — \frac{{11\pi }}{2};\;\;\;x = \frac{{5\pi }}{6} — 6\pi  =  — \frac{{31\pi }}{6};\;\;\;x = \frac{\pi }{2} — 5\pi  =  — \frac{{9\pi }}{2}.\)

Ответ:  а)  \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \frac{{11\pi }}{2};\;\;\; — \frac{{31\pi }}{6};\;\;\; — \frac{{9\pi }}{2}.\)