109В. а) Решите уравнение \({\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} — x} \right) = {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \,\frac{{5\pi }}{2};\,\, — \pi } \right].\)
а) \({\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} — x} \right) = {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right).\) Воспользуемся формулой понижения степени: \({\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}.\) Тогда уравнение примет вид: \(\frac{{1 + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} — 2x} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)}}{2}\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} — 2x} \right) = \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right).\) Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности: \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \beta \cos \alpha — \sin \beta \sin \alpha ,\;\,\,\,\,\;\cos \left( {\alpha — \beta } \right) = \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha .\) Уравнение примет вид: \(\cos 2x\cos \frac{{4\pi }}{3} + \sin 2x\sin \frac{{4\pi }}{3} = \cos 2x\cos \frac{{4\pi }}{3} — \sin 2x\sin \frac{{4\pi }}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2x = \pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{{5\pi }}{2};\;\;\;x = — 2\pi ;\;\;\;x = — \frac{{3\pi }}{2};\;\;\;x = — \pi .\) Ответ: а) \(\frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{5\pi }}{2};\;\;\; — 2\pi ;\;\;\; — \frac{{3\pi }}{2};\;\;\; — \pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: