11В. а) Решите уравнение \(8{\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \cos x + 1 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right].\)
а) \(8{\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \cos x + 1 = 0.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1 — {\cos ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(8\left( {1 — {{\cos }^2}x} \right) + 2\sqrt 3 \cos x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;8{\cos ^2}x — 2\sqrt 3 \cos x — 9 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда: \(8{t^2} — 2\sqrt 3 \,t — 9 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,D = 12 + 288 = 300,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt D = \sqrt {300} = 10\sqrt 3 \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{{2\sqrt 3 — 10\sqrt 3 }}{{16}} = — \frac{{\sqrt 3 }}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t} = \frac{{2\sqrt 3 + 10\sqrt 3 }}{{16}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt {27} }}{4} > 1}\end{array}} \right.\;\;\;\,\,\; \Leftrightarrow \;\;\,\,\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — \frac{{\sqrt 3 }}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{t} = \frac{{\sqrt {27} }}{4} \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\cos x = — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) \(x = \frac{{5\pi }}{6} — 4\pi = — \frac{{19\pi }}{6};\,\,\,\,\,\,x = — \frac{{5\pi }}{6} — 2\pi = — \frac{{17\pi }}{6}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{19\pi }}{6};\,\,\,\, — \frac{{17\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: