110В. а) Решите уравнение  \({\cos ^2}\left( {\dfrac{{5\pi }}{6} — x} \right) = {\cos ^2}\left( {\dfrac{{5\pi }}{6} + x} \right)\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\,\dfrac{{3\pi }}{2};\,\,3\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\dfrac{{\pi k}}{2};\;\;\;k \in Z;\)

б) \(\dfrac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,2\pi ;\,\,\,\,\dfrac{{5\pi }}{2};\,\,\,\,3\pi .\)

Решение

а) \({\cos ^2}\left( {\dfrac{{5\pi }}{6} — x} \right) = {\cos ^2}\left( {\dfrac{{5\pi }}{6} + x} \right).\)

Воспользуемся формулой понижения степени: \({\cos ^2}\alpha  = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}.\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\dfrac{{1 + \cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{3} — 2x} \right)}}{2} = \dfrac{{1 + \cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{3} + 2x} \right)}}{2}\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{3} — 2x} \right) = \cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{3} + 2x} \right).\)

Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности:

 \(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \beta \cos \alpha  — \sin \beta \sin \alpha ,\;\,\,\,\,\;\cos \left( {\alpha  — \beta } \right) = \cos \beta \cos \alpha  + \sin \beta \sin \alpha .\)

Уравнение примет вид:

\(\cos 2x\cos \dfrac{{5\pi }}{3} + \sin 2x\sin \dfrac{{5\pi }}{3} = \cos 2x\cos \dfrac{{5\pi }}{3} — \sin 2x\sin \dfrac{{5\pi }}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\; — \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sin 2x = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;2x = \pi k\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x = \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = \dfrac{{3\pi }}{2};\;\;\;x = 2\pi ;\;\;\;x = \dfrac{{5\pi }}{2};\;\;\;x = 3\pi .\)

Ответ:  а)  \(\dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \(\dfrac{{3\pi }}{2};\;\;\;2\pi ;\;\;\;\dfrac{{5\pi }}{2};\;\;\;3\pi .\)