110В. а) Решите уравнение \({\cos ^2}\left( {\frac{{5\pi }}{6} — x} \right) = {\cos ^2}\left( {\frac{{5\pi }}{6} + x} \right)\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\,\frac{{3\pi }}{2};\,\,3\pi } \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\frac{{\pi k}}{2};\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,2\pi ;\,\,\,\,\frac{{5\pi }}{2};\,\,\,\,3\pi .\)
а) \({\cos ^2}\left( {\frac{{5\pi }}{6} — x} \right) = {\cos ^2}\left( {\frac{{5\pi }}{6} + x} \right).\) Воспользуемся формулой понижения степени: \({\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}.\) Тогда уравнение примет вид: \(\frac{{1 + \cos \left( {\frac{{5\pi }}{3} — 2x} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {\frac{{5\pi }}{3} + 2x} \right)}}{2}\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3} — 2x} \right) = \cos \left( {\frac{{5\pi }}{3} + 2x} \right).\) Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности: \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \beta \cos \alpha — \sin \beta \sin \alpha ,\;\,\,\,\,\;\cos \left( {\alpha — \beta } \right) = \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha .\) Уравнение примет вид: \(\cos 2x\cos \frac{{5\pi }}{3} + \sin 2x\sin \frac{{5\pi }}{3} = \cos 2x\cos \frac{{5\pi }}{3} — \sin 2x\sin \frac{{5\pi }}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\; — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sin 2x = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;2x = \pi k\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x = \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \(x = \frac{{3\pi }}{2};\;\;\;x = 2\pi ;\;\;\;x = \frac{{5\pi }}{2};\;\;\;x = 3\pi .\) Ответ: а) \(\frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{3\pi }}{2};\;\;\;2\pi ;\;\;\;\frac{{5\pi }}{2};\;\;\;3\pi .\)