111В. а) Решите уравнение  \(2\sin 2x — \cos x = \sqrt 3 \sin x\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\, — 2\pi ;\;\; — \frac{\pi }{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\;\,\,\frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{2\pi k}}{3};\,\;\;k \in Z;\)

б) \( — \frac{{11\pi }}{6};\,\,\,\, — \frac{{31\pi }}{{18}};\,\,\,\, — \frac{{19\pi }}{{18}}.\)

Решение

а)

\(2\sin 2x — \cos x = \sqrt 3 \sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x — \frac{1}{2}\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x = \cos \frac{\pi }{6}\sin x + \sin \frac{\pi }{6}\cos x.\)

Воспользуемся формулой синуса суммы:

 \(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta .\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\sin 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x — \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0.\)

Воспользуемся формулой разности синусов:

 \(\sin \alpha  — \sin \beta  = 2\sin \frac{{\alpha  — \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2}.\)

Тогда уравнение примет вид:

\(2\sin \frac{{x — \frac{\pi }{6}}}{2}\cos \frac{{3x + \frac{\pi }{6}}}{2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \frac{{x — \frac{\pi }{6}}}{2} = 0,\;\,}\\{\cos \frac{{3x + \frac{\pi }{6}}}{2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x — \frac{\pi }{6}}}{2} = \pi k,\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{\frac{{3x + \frac{\pi }{6}}}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\,}\\{3x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\;\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{2\pi k}}{3},}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\):

\( — 2\pi  \le \frac{\pi }{6} + 2\pi k \le  — \frac{\pi }{2},\)

\( — \frac{{13\pi }}{6} \le 2\pi k \le  — \frac{{2\pi }}{3},\)

\( — \frac{{13}}{{12}} \le k \le  — \frac{1}{3}\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\,k =  — 1.\)

При \(k =  — 1,\) \(x = \frac{\pi }{6} — 2\pi  =  — \frac{{11\pi }}{6}.\)

 

 \( — 2\pi  \le \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{2\pi k}}{3} \le  — \frac{\pi }{2},\)

\( — \frac{{41\pi }}{{18}} \le \frac{{2\pi k}}{3} \le  — \frac{{7\pi }}{9},\)

\( — \frac{{41}}{{12}} \le k \le  — \frac{7}{6}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k =  — 3,\;\;\;\;k =  — 2.\)

При \(k =  — 3,\) \(x = \frac{{5\pi }}{{18}} — 2\pi  =  — \frac{{31\pi }}{{18}}.\)

При \(k =  — 2,\) \(x = \frac{{5\pi }}{{18}} — \frac{{4\pi }}{3} =  — \frac{{19\pi }}{{18}}.\)

Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x =  — \frac{{11\pi }}{6};\;\;\;x =  — \frac{{31\pi }}{{18}};\;\;\;x =  — \frac{{19\pi }}{{18}}.\)

Ответ:  а)  \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;\frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{2\pi k}}{3},\;\;\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \frac{{11\pi }}{6};\;\;\; — \frac{{31\pi }}{{18}};\;\;\; — \frac{{19\pi }}{{18}}.\)