112В. а) Решите уравнение \(2\sin 2x — \sqrt 2 \cos x = \sqrt 2 \sin x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \,\dfrac{{5\pi }}{2};\,\, — \pi } \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{2\pi k}}{3};\,\;\;k \in Z;\) б) \( — \dfrac{{29\pi }}{{12}};\,\,\,\, — \dfrac{{7\pi }}{4};\,\,\,\, — \dfrac{{13\pi }}{{12}}.\)
а) \(2\sin 2x — \sqrt 2 \cos x = \sqrt 2 \sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x — \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x = \cos \dfrac{\pi }{4}\sin x + \sin \dfrac{\pi }{4}\cos x.\) Воспользуемся формулой синуса суммы: \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .\) Тогда уравнение примет вид: \(\sin 2x = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x — \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0.\) Воспользуемся формулой разности синусов: \(\sin \alpha — \sin \beta = 2\sin \dfrac{{\alpha — \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}.\) Тогда уравнение примет вид: \(2\sin \dfrac{{x — \dfrac{\pi }{4}}}{2}\cos \dfrac{{3x + \dfrac{\pi }{4}}}{2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \dfrac{{x — \dfrac{\pi }{4}}}{2} = 0,\;\,}\\{\cos \dfrac{{3x + \dfrac{\pi }{4}}}{2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x — \dfrac{\pi }{4}}}{2} = \pi k,\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{\dfrac{{3x + \dfrac{\pi }{4}}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\,}\\{3x = \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\;\;}\\{x = \frac{\pi }{4} + \dfrac{{2\pi k}}{3},\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{2\pi k}}{3},\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \dfrac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \( — \dfrac{{5\pi }}{2} \le \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{2\pi k}}{3} \le — \pi \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; — \dfrac{{11\pi }}{4} \le \dfrac{{2\pi k}}{3} \le — \dfrac{{5\pi }}{4}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \dfrac{{33}}{8} \le k \le — \dfrac{{15}}{8}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;k = — 4,\;\;\;\;k = — 3,\;\;\;\;k = — 2.\) При \(k = — 4,\) \(x = \dfrac{\pi }{4} — \dfrac{{8\pi }}{3} = — \dfrac{{29\pi }}{{12}}.\) При \(k = — 3,\) \(x = \dfrac{\pi }{4} — 2\pi = — \dfrac{{7\pi }}{4}.\) При \(k = — 2,\) \(x = \dfrac{\pi }{4} — \dfrac{{4\pi }}{3} = — \dfrac{{13\pi }}{{12}}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x = — \dfrac{{29\pi }}{{12}};\;\;\;x = — \dfrac{{7\pi }}{4};\;\;\;x = — \dfrac{{13\pi }}{{12}}.\) Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{2\pi k}}{3},\;\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \( — \dfrac{{29\pi }}{{12}};\;\;\; — \dfrac{{7\pi }}{4};\;\;\; — \dfrac{{13\pi }}{{12}}.\)