Профиль №13. Тригонометрические уравнения. Задача 13В

ОТВЕТ:  а) \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\;\;k \in Z.\)

б) \( — \dfrac{{7\pi }}{4};\;\; — \dfrac{{5\pi }}{4}.\)

а)

\(4{\cos ^4}x — 4{\cos ^2}x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {2{{\cos }^2}x — 1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\cos ^2}x — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos 2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = \dfrac{\pi }{4} — 2\pi  =  — \dfrac{{7\pi }}{4};\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{4} — \dfrac{{3\pi }}{2} =  — \dfrac{{5\pi }}{4}.\)

Ответ:  а)  \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \dfrac{{7\pi }}{4};\,\,\,\, — \dfrac{{5\pi }}{4}.\)