14В. а) Решите уравнение \(\sqrt 2 {\sin ^3}x — \sqrt 2 \sin x + {\cos ^2}x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \dfrac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right].\)
а) \(\sqrt 2 {\sin ^3}x — \sqrt 2 \sin x + {\cos ^2}x = 0.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\)то \({\cos ^2}x = 1 — {\sin ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(\sqrt 2 {\sin ^3}x — \sqrt 2 \sin x + 1 — {\sin ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt 2 \sin x\left( {{{\sin }^2}x — 1} \right) — \left( {{{\sin }^2}x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\sin }^2}x — 1} \right)\left( {\sqrt 2 \sin x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\sin }^2}x = 1,\;\;}\\{\sqrt 2 \sin x = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \pm 1,\;\;}\\{\sin x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;}\\{x = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \dfrac{\pi }{2} — 3\pi = — \dfrac{{5\pi }}{2};\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{2} — 2\pi = — \dfrac{{3\pi }}{2};\) \(x = \dfrac{\pi }{4} — 2\pi = — \dfrac{{7\pi }}{4};\;\,\,\,x = \dfrac{{3\pi }}{4} — 2\pi = — \dfrac{{5\pi }}{4}.\) Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\, — \dfrac{{5\pi }}{2};\,\,\, — \dfrac{{7\pi }}{4};\,\, — \dfrac{{3\pi }}{2};\;\, — \dfrac{{5\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \dfrac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: