а) \(\sqrt 2 {\sin ^3}x — \sqrt 2 \sin x + {\cos ^2}x = 0.\)
Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\)то \({\cos ^2}x = 1 — {\sin ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид:
\(\sqrt 2 {\sin ^3}x — \sqrt 2 \sin x + 1 — {\sin ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt 2 \sin x\left( {{{\sin }^2}x — 1} \right) — \left( {{{\sin }^2}x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\sin }^2}x — 1} \right)\left( {\sqrt 2 \sin x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\sin }^2}x = 1,\;\;}\\{\sqrt 2 \sin x = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \pm 1,\;\;}\\{\sin x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;}\\{x = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \dfrac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{\pi }{2} — 3\pi = — \dfrac{{5\pi }}{2};\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{2} — 2\pi = — \dfrac{{3\pi }}{2};\)
\(x = \dfrac{\pi }{4} — 2\pi = — \dfrac{{7\pi }}{4};\;\,\,\,x = \dfrac{{3\pi }}{4} — 2\pi = — \dfrac{{5\pi }}{4}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \(\, — \dfrac{{5\pi }}{2};\,\,\, — \dfrac{{7\pi }}{4};\,\, — \dfrac{{3\pi }}{2};\;\, — \dfrac{{5\pi }}{4}.\)