а) \(2{\cos ^3}x — 2\cos x + {\sin ^2}x = 0.\)
Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1 — {\cos ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид:
\(2{\cos ^3}x — 2\cos x + 1 — {\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\cos x\left( {{{\cos }^2}x — 1} \right) — \left( {{{\cos }^2}x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\cos }^2}x — 1} \right)\left( {2\cos x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}x = 1,\;}\\{2\cos x = 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \pm 1,}\\{\cos x = \dfrac{1}{2}\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\;}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = 2\pi ;\;\,\,x = 3\pi ;\) \(x = — \dfrac{\pi }{3} + 2\pi = \dfrac{{5\pi }}{3};\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{3} + 2\pi = \dfrac{{7\pi }}{3}.\)
Ответ: а) \(\pi k,\,\,\,\,\,\, \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k\, \in \,Z;\)
б) \(\,\dfrac{{5\pi }}{3};\,\,\;\,2\pi ;\;\,\,\dfrac{{7\pi }}{3};\;\;\,3\pi .\)