15В. а) Решите уравнение \(2{\cos ^3}x — 2\cos x + {\sin ^2}x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right].\)
а) \(2{\cos ^3}x — 2\cos x + {\sin ^2}x = 0.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1 — {\cos ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\cos ^3}x — 2\cos x + 1 — {\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\cos x\left( {{{\cos }^2}x — 1} \right) — \left( {{{\cos }^2}x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\cos }^2}x — 1} \right)\left( {2\cos x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}x = 1,\;}\\{2\cos x = 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \pm 1,}\\{\cos x = \frac{1}{2}\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\) \(x = 2\pi ;\;\,\,x = 3\pi ;\) \(x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{3};\,\,\,\,x = \frac{\pi }{3} + 2\pi = \frac{{7\pi }}{3}.\) Ответ: а) \(\pi k,\,\,\,\,\,\, \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \(\,\frac{{5\pi }}{3};\,\,\;\,2\pi ;\;\,\,\frac{{7\pi }}{3};\;\;\,3\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: