16В. а) Решите уравнение  \(2{\cos ^3}x — {\cos ^2}x + 2\cos x — 1 = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {2\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(\frac{{7\pi }}{3}.\)

Решение

а)

\(2{\cos ^3}x — {\cos ^2}x + 2\cos x — 1 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\cos ^2}x\left( {2\cos x — 1} \right) + \left( {2\cos x — 1} \right) = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {2\cos x — 1} \right)\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{1}{2},\,\,\,\,}\\{{{\cos }^2}x =  — 1.}\end{array}} \right.\)

Уравнение \({\cos ^2}x =  — 1\)  не имеет решений.

\(\cos x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x =  \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(x = \frac{\pi }{3} + 2\pi  = \frac{{7\pi }}{3}.\)

Ответ:  а)  \( \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \(\frac{{7\pi }}{3}.\)