17В. а) Решите уравнение \({\rm{t}}{{\rm{g}}^3}x + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x — 3{\rm{tg}}\,x — 3 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right].\)
а) \({\rm{t}}{{\rm{g}}^3}\,x + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x — 3{\rm{tg}}\,x — 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x\left( {{\rm{tg}}\,x + 1} \right) — 3\left( {{\rm{tg}}\,x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x — 3} \right)\left( {{\rm{tg}}\,x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x = 3,}\\{{\rm{tg}}\,x = — 1\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = \pm \sqrt 3 ,}\\{{\rm{tg}}\,x = — 1\,\,\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,}\\{x = — \frac{\pi }{4} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{3} + 2\pi = \frac{{7\pi }}{3};\;\;\,x = \frac{\pi }{3} + 3\pi = \frac{{10\pi }}{3};\) \(x = — \frac{\pi }{3} + 3\pi = \frac{{8\pi }}{3};\;\;\,x = — \frac{\pi }{4} + 3\pi = \frac{{11\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;\;\; — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{7\pi }}{3};\;\;\,\frac{{8\pi }}{3};\;\;\,\frac{{10\pi }}{3};\;\;\;\frac{{11\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: