a) \(2{\cos ^3}x + \sqrt 3 {\cos ^2}x + 2\cos x + \sqrt 3 = 0.\)
\({\cos ^2}x\left( {2\cos x + \sqrt 3 } \right) + \left( {2\cos x + \sqrt 3 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2\cos x + \sqrt 3 } \right)\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) = 0\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = — \frac{{\sqrt 3 }}{2},}\\{{{\cos }^2}x = — 1.\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Уравнение \({\cos ^2}x = — 1\) не имеет решений.
\(\cos x = — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\)\(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = — \frac{{5\pi }}{6};\,\,\,\,x = \frac{{5\pi }}{6} — 2\pi = — \frac{{7\pi }}{6}.\)
Ответ: а) \( \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \( — \frac{{7\pi }}{6};\,\,\,\, — \frac{{5\pi }}{6}.\)