18В. а) Решите уравнение  \(2{\cos ^3}x + \sqrt 3 {\cos ^2}x + 2\cos x + \sqrt 3  = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z;\)

б) \( — \frac{{7\pi }}{6};\quad  — \frac{{5\pi }}{6}.\)

Решение

a) \(2{\cos ^3}x + \sqrt 3 {\cos ^2}x + 2\cos x + \sqrt 3 = 0.\)

\({\cos ^2}x\left( {2\cos x + \sqrt 3 } \right) + \left( {2\cos x + \sqrt 3 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2\cos x + \sqrt 3 } \right)\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) = 0\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x =  — \frac{{\sqrt 3 }}{2},}\\{{{\cos }^2}x =  — 1.\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Уравнение \({\cos ^2}x =  — 1\)  не имеет решений.

\(\cos x =  — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\)\(x =  \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x =  — \frac{{5\pi }}{6};\,\,\,\,x = \frac{{5\pi }}{6} — 2\pi  =  — \frac{{7\pi }}{6}.\)

Ответ:  а)  \( \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \frac{{7\pi }}{6};\,\,\,\, — \frac{{5\pi }}{6}.\)