Профиль №13. Тригонометрические уравнения. Задача 19Вmath100admin44242023-09-16T17:38:35+03:00
19В. а) Решите уравнение \(\left( {2\sin x — 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right) = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\;\;\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\) \(\pi + 2\pi k;\quad k \in Z;\)
б) \(\frac{\pi }{6}.\)
Решение
а)
\(\left( {2\sin x — 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sin x = 1\,,}\\{\cos x = — 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{2}\,,\,}\\{\cos x = — 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\\{x = \pi + 2\pi k,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(\frac{\pi }{6}.\)
Ответ: а) \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\;\;\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\pi + 2\pi k,\;\;\,k\, \in \,Z;\)
б) \(\frac{\pi }{6}.\)