2В. а) Решите уравнение \(2{\cos ^2}\frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} — 1 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right].\)
а) \(2{\cos ^2}\frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} — 1 = 0.\) Пусть \(\cos \frac{x}{2} = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2} + t — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — 1,}\\{{t} = \frac{1}{2}.\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \frac{x}{2} = — 1,}\\{\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2}\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k,\;\;\;}\\{\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi + 4\pi k,\;\;\;}\\{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 4\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) Ответ: а) \(2\pi + 4\pi k,\;\;\; \pm \frac{{2\pi }}{3} + 4\pi k,\;\;\;k \in Z;\) б) \( \pm \frac{{2\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \( — \frac{{2\pi }}{3};\,\,\,\,\,\frac{{2\pi }}{3}\,.\)