20В. а) Решите уравнение \(\left( {2\cos 2x — 1} \right)\left( {{\rm{tg }}x + 1} \right) = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2\pi ;3\pi } \right].\)
а) \(\left( {2\cos 2x — 1} \right)\left( {{\rm{tg}}\,x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\cos 2x = 1,}\\{{\rm{tg}}\,x = — 1\,\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = \dfrac{1}{2},}\\{{\rm{tg}}\,x = — 1\,\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\,}\\{\,x = — \dfrac{\pi }{4} + \pi k\;\;\;\,\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \dfrac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\;\;\,}\\{x = — \dfrac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,\,\,\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;k \in Z.\) \(x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi = \dfrac{{13\pi }}{6};\,\,\;x = — \dfrac{\pi }{6} + 3\pi = \,\dfrac{{17\pi }}{6};\) \(x = — \dfrac{\pi }{4} + 3\pi = \dfrac{{11\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( \pm \dfrac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,\,\, — \dfrac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\dfrac{{13\pi }}{6};\,\,\;\,\dfrac{{11\pi }}{4};\;\;\;\dfrac{{17\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: