21В. а) Решите уравнение \(4{\sin ^2}x = 3\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {3\pi ;4\pi } \right].\)
a) Первый вариант решения: \(4{\sin ^2}x = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {2\sin x} \right)^2} — {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2\sin x + \sqrt 3 } \right)\left( {2\sin x — \sqrt 3 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sin x — \sqrt 3 = 0,}\\{2\sin x + \sqrt 3 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\;\,\;}\\{\sin x = — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\\{x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{x = — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) Объединив полученные решения, получим: \(x = \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) Второй вариант решения: Воспользуемся формулой понижения степени: \({\sin ^2}\alpha = \frac{{1 — \cos 2\alpha }}{2}.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(4 \cdot \frac{{1 — \cos 2x}}{2} = 3\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2 — 2\cos 2x = 3\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos 2x = — \frac{1}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k \in Z\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{3} + 3\pi = \frac{{10\pi }}{3};\,\,\;\,x = — \frac{\pi }{3} + 4\pi = \frac{{11\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{10\pi }}{3};\,\,\;\,\frac{{11\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {3\pi ;4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: