a) Первый вариант решения:
\(4{\sin ^2}x = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {2\sin x} \right)^2} — {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2\sin x + \sqrt 3 } \right)\left( {2\sin x — \sqrt 3 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sin x — \sqrt 3 = 0,}\\{2\sin x + \sqrt 3 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\;\,\;}\\{\sin x = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\\{x = — \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{x = — \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
Объединив полученные решения, получим: \(x = \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)
Второй вариант решения:
Воспользуемся формулой понижения степени: \({\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 — \cos 2\alpha }}{2}.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(4 \cdot \dfrac{{1 — \cos 2x}}{2} = 3\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2 — 2\cos 2x = 3\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos 2x = — \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k \in Z\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {3\pi ;4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{\pi }{3} + 3\pi = \dfrac{{10\pi }}{3};\,\,\;\,x = — \dfrac{\pi }{3} + 4\pi = \dfrac{{11\pi }}{3}.\)
Ответ: а) \( \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \(\dfrac{{10\pi }}{3};\,\,\;\,\dfrac{{11\pi }}{3}.\)