22В. а) Решите уравнение \(\left( {2{{\sin }^2}x — 1} \right)\left( {4{{\cos }^2}x — 3} \right) = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 2\pi ; — \pi } \right].\)
а) Первый вариант решения: \(\left( {2{{\sin }^2}x — 1} \right)\left( {4{{\cos }^2}x — 3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\left( {\sqrt 2 \sin x} \right)}^2} — {1^2}} \right)\left( {{{\left( {2\cos x} \right)}^2} — {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\sqrt 2 \sin x — 1} \right)\left( {\sqrt 2 \sin x + 1} \right)\left( {2\cos x — \sqrt 3 } \right)\left( {2\cos x + \sqrt 3 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 2 \sin x = 1,\;\;\;\;\;}\\{\sqrt 2 \sin x = — 1,\;\;\;}\\{2\cos x = \sqrt 3 ,\;\;\;}\\{2\cos x = — \sqrt 3 \;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }},\;\;\;\;\;}\\{\sin x = — \frac{1}{{\sqrt 2 }},\;\;\;}\\{\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\;\;\;\;}\\{\cos x = — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;\,}\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;k \in Z.\) Объединив полученные решения, получим: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;}\\{x = \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;k \in Z.\;\) Второй вариант решения: Воспользуемся формулами понижения степени: \({\sin ^2}\alpha = \frac{{1 — \cos 2\alpha }}{2};\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\left( {2 \cdot \frac{{1 — \cos 2x}}{2} — 1} \right)\left( {4 \cdot \frac{{1 + \cos 2x}}{2} — 3} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos 2x \cdot \left( {2\cos 2x — 1} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0}\\{\cos 2x = \frac{1}{2}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\,\,}\\{x = \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{4} — \frac{{3\pi }}{2} = — \frac{{5\pi }}{4};\,\,\;\,x = \frac{\pi }{4} — 2\pi = — \frac{{7\pi }}{4};\) \(x = — \frac{\pi }{6} — \pi — \frac{{7\pi }}{6};\,\,\;\,x = \frac{\pi }{6} — 2\pi = — \frac{{11\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\; \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{5\pi }}{4};\,\,\;\, — \frac{{7\pi }}{4};\;\;\; — \frac{{7\pi }}{6};\,\,\;\, — \frac{{11\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \pi } \right]\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: