23В. а) Решите уравнение \(\left( {3{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x — 1} \right)\left( {\cos x — \frac{\pi }{3}} \right) = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right].\)
а) \(\left( {3{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x — 1} \right)\left( {\cos x — \frac{\pi }{3}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\left( {\sqrt 3 \,{\rm{tg}}\,x} \right)}^2} — {1^2}} \right)\left( {\cos x — \frac{\pi }{3}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\sqrt 3 \,{\rm{tg}}\,x + 1} \right)\left( {\sqrt 3 \,{\rm{tg}}\,x — 1} \right)\left( {\cos x — \frac{\pi }{3}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 3 \,{\rm{tg}}\,x + 1 = 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{\sqrt 3 \,{\rm{tg}}\,x — 1 = 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{\cos x = \frac{\pi }{3} \notin \left[ { — 1;1} \right]}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 3 \,{\rm{tg}}\,x = — 1,}\\{\sqrt 3 \,{\rm{tg}}\,x = 1\,\;\;}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{\pi }{6} + \pi k,}\\{x = \frac{\pi }{6} + \pi k,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{\pi }{6} — 3\pi = — \frac{{19\pi }}{6};\,\,\;\,\,x = — \frac{\pi }{6} — 2\pi = — \frac{{13\pi }}{6};\;\;\;x = \frac{\pi }{6} — 3\pi = — \frac{{17\pi }}{6}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{19\pi }}{6};\,\,\;\, — \frac{{17\pi }}{6};\;\;\; — \frac{{13\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: