а) \(\sin x + \cos x = 0.\)
Однородное тригонометрическое уравнение первой степени.
\(\sin x + \cos x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,x + 1 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,x = — 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = — \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{9\pi }}{2};6\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = — \frac{\pi }{4} + 5\pi = \frac{{19\pi }}{4};\,\,\;\;x = — \frac{\pi }{4} + 6\pi = \frac{{23\pi }}{4}.\)
Ответ: а) \( — \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \(\frac{{19\pi }}{4};\,\,\;\;\frac{{23\pi }}{4}.\)