25В. а) Решите уравнение  \(\sin x — \sqrt 3 \cos x = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — \frac{{9\pi }}{2}; — 3\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z;\)

б) \( — \frac{{11\pi }}{3}.\)

Решение

а) \(\sin x — \sqrt 3 \cos x = 0.\)

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

\(\sin x — \sqrt 3 \cos x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,x — \sqrt 3  = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,x = \sqrt 3 \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{9\pi }}{2}; — 3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(x = \frac{\pi }{3} — 4\pi  =  — \frac{{11\pi }}{3}.\)

Ответ:  а)  \(\frac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \frac{{11\pi }}{3}.\)