26В. а) Решите уравнение \(\sin 4x + \sqrt 3 \cos 4x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{\pi }{2};0} \right].\)
ОТВЕТ: а) \( — \frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{4};\quad k \in Z;\) б) \( — \frac{\pi }{{12}};\;\; — \frac{\pi }{3}.\)
а) \(\sin 4x + \sqrt 3 \cos 4x = 0.\) Однородное тригонометрическое уравнение первой степени. \(\sin 4x + \sqrt 3 \cos 4x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,4x + \sqrt 3 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,4x = — \sqrt 3 \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,4x = — \frac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,k \in Z\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = — \frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{4},\,\,\,\,\,k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{\pi }{2};0} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \(x = — \frac{\pi }{{12}};\;\;\;\;x = — \frac{\pi }{{12}} — \frac{\pi }{4} = — \frac{\pi }{3}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{4},\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{\pi }{{12}};\;\;\;\; — \frac{\pi }{3}.\)