26В. а) Решите уравнение  \(\sin 4x + \sqrt 3 \cos 4x = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — \frac{\pi }{2};0} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{4};\quad k \in Z;\)

б) \( — \frac{\pi }{{12}};\;\; — \frac{\pi }{3}.\)

Решение

а) \(\sin 4x + \sqrt 3 \cos 4x = 0.\)

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

\(\sin 4x + \sqrt 3 \cos 4x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,4x + \sqrt 3  = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,4x =  — \sqrt 3 \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,4x =  — \frac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,k \in Z\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x =  — \frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{4},\,\,\,\,\,k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{\pi }{2};0} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x =  — \frac{\pi }{{12}};\;\;\;\;x =  — \frac{\pi }{{12}} — \frac{\pi }{4} =  — \frac{\pi }{3}.\)

Ответ:  а)  \( — \frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{4},\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \frac{\pi }{{12}};\;\;\;\; — \frac{\pi }{3}.\)