27В. а) Решите уравнение  \(\cos 3x — \sin 3x = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z;\)

б) \(\frac{{3\pi }}{4}.\)

Решение

а) \(\cos 3x — \sin 3x = 0.\)

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

\(\cos 3x — \sin 3x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 — {\rm{tg}}\,3x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,3x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,3x = \frac{\pi }{4} + \pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{3},\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{3\pi }}{4}.\)

Ответ:  а)  \(\frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{3},\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \(\frac{{3\pi }}{4}.\)