Профиль №13. Тригонометрические уравнения. Задача 28В

ОТВЕТ:  а) \({\rm{arctg}}\dfrac{5}{2} + \pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(arctg\dfrac{5}{2} — 3\pi ;\;\;arctg\dfrac{5}{2} — 4\pi .\)

а) \(2\sin x = 5\cos x.\)

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

\(2\sin x = 5\cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\rm{tg}}\,x = 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,x = \dfrac{5}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = {\rm{arctg}}\,\dfrac{5}{2} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 4\pi ; — 2\pi } \right]\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = {\rm{arctg}}\,\dfrac{5}{2} — 3\pi ;\) \(x = {\rm{arctg}}\,\dfrac{5}{2} — 4\pi .\)

Ответ:  а)  \({\rm{arctg}}\,\dfrac{5}{2} + \pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \({\rm{arctg}}\,\dfrac{5}{2} — 3\pi ;\;\;\;\;{\rm{arctg}}\,\dfrac{5}{2} — 4\pi .\)