а) \(2\sin x = 5\cos x.\)
Однородное тригонометрическое уравнение первой степени.
\(2\sin x = 5\cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\rm{tg}}\,x = 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,x = \frac{5}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = {\rm{arctg}}\,\frac{5}{2} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 4\pi ; — 2\pi } \right]\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = {\rm{arctg}}\,\frac{5}{2} — 3\pi ;\) \(x = {\rm{arctg}}\,\frac{5}{2} — 4\pi .\)
Ответ: а) \({\rm{arctg}}\,\frac{5}{2} + \pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \({\rm{arctg}}\,\frac{5}{2} — 3\pi ;\;\;\;\;{\rm{arctg}}\,\frac{5}{2} — 4\pi .\)