29В. а) Решите уравнение  \({\sin ^2}x + \sin x\;\cos x = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — 3\pi ; — 2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \frac{\pi }{4} + \pi k;\quad \pi k;\quad k \in Z;\)

б) \( — 2\pi ;\;\; — 3\pi ;\;\; — \frac{{9\pi }}{4}.\)

Решение

а)

\({\sin ^2}x + \sin x\cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\sin x =  — \cos x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{{\rm{tg}}\,x =  — 1\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x =  — \frac{\pi }{4} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 3\pi ; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x =  — 2\pi ;\;\,\;\;x =  — 3\pi ;\;\;\,\;x =  — \frac{\pi }{4} — 2\pi  =  — \frac{{9\pi }}{4}.\)

Ответ:  а)  \( — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;\pi k,\;\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — 2\pi ;\;\;\; — 3\pi ;\;\;\; — \frac{{9\pi }}{4}.\)