29В. а) Решите уравнение \({\sin ^2}x + \sin x\;\cos x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 3\pi ; — 2\pi } \right].\)
ОТВЕТ: а) \( — \frac{\pi }{4} + \pi k;\quad \pi k;\quad k \in Z;\) б) \( — 2\pi ;\;\; — 3\pi ;\;\; — \frac{{9\pi }}{4}.\)
а) \({\sin ^2}x + \sin x\cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\sin x = — \cos x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{{\rm{tg}}\,x = — 1\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = — \frac{\pi }{4} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 3\pi ; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \(x = — 2\pi ;\;\,\;\;x = — 3\pi ;\;\;\,\;x = — \frac{\pi }{4} — 2\pi = — \frac{{9\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;\pi k,\;\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — 2\pi ;\;\;\; — 3\pi ;\;\;\; — \frac{{9\pi }}{4}.\)