3В. а) Решите уравнение \({\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x + 5\,{\rm{tg}}\;x — 6 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\pi } \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\frac{\pi }{4} + \pi k;\quad — {\rm{arctg}}6 + \pi k;\quad k \in Z;\) б) \(\frac{\pi }{4};\;\;\pi — {\rm{arctg}}6.\)
а) \({\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x + 5{\rm{tg }}x — 6 = 0.\) Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} + 5t — 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;}\\{{t} = — 6.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = 1,\,\;}\\{{\rm{tg}}\,x = — 6}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = — {\rm{arctg}}\,6 + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \(\frac{\pi }{4};\,\,\;\;\pi — {\rm{arctg}}\,6.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\; — {\rm{arctg}}\,6 + \pi k,\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{\pi }{4};\,\,\;\;\pi — {\rm{arctg}}\,6.\)