3В. а) Решите уравнение  \({\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x + 5\,{\rm{tg}}\;x — 6 = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {0;\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{4} + \pi k;\quad  — {\rm{arctg}}6 + \pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(\frac{\pi }{4};\;\;\pi  — {\rm{arctg}}6.\)

Решение

а) \({\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x + 5{\rm{tg }}x — 6 = 0.\)

Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид:

\({t^2} + 5t — 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;}\\{{t} =  — 6.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = 1,\,\;}\\{{\rm{tg}}\,x =  — 6}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x =  — {\rm{arctg}}\,6 + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \(\frac{\pi }{4};\,\,\;\;\pi  — {\rm{arctg}}\,6.\)

Ответ:  а) \(\frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\; — {\rm{arctg}}\,6 + \pi k,\;\;\;k \in Z;\)

             б) \(\frac{\pi }{4};\,\,\;\;\pi  — {\rm{arctg}}\,6.\)