30В. а) Решите уравнение \({\sin ^2}x = 3\sin x\;\cos x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;0} \right].\)
ОТВЕТ: а) \({\rm{arctg3 + }}\pi k;\quad \pi k;\quad k \in Z;\) б) \( — \pi ;\;\;0;\;\;{\rm{arctg}}3 — \pi .\)
а) \({\sin ^2}x = 3\sin x\cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {\sin x — 3\cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\sin x = 3\cos x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{{\rm{tg}}\,x = 3\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = {\rm{arctg}}\,3 + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;0} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \( — \pi ;\;\;\;0;\;\;\;{\rm{arctg}}\,3 — \pi .\) Ответ: а) \({\rm{arctg}}\,3 + \pi k,\;\;\;\;\pi k,\;\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \pi ;\;\;\;0;\;\;\;{\rm{arctg}}\,3 — \pi .\)