30В. а) Решите уравнение  \({\sin ^2}x = 3\sin x\;\cos x\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — \pi ;0} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \({\rm{arctg3 + }}\pi k;\quad \pi k;\quad k \in Z;\)

б) \( — \pi ;\;\;0;\;\;{\rm{arctg}}3 — \pi .\)

Решение

а)

\({\sin ^2}x = 3\sin x\cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {\sin x — 3\cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\sin x = 3\cos x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{{\rm{tg}}\,x = 3\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = {\rm{arctg}}\,3 + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;0} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \( — \pi ;\;\;\;0;\;\;\;{\rm{arctg}}\,3 — \pi .\)

Ответ:  а)  \({\rm{arctg}}\,3 + \pi k,\;\;\;\;\pi k,\;\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \pi ;\;\;\;0;\;\;\;{\rm{arctg}}\,3 — \pi .\)